Teorema dei Seni

Il teorema dei seni è uno dei fondamentali per la trigonometria, poiché mette in relazione i lati di un triangolo con l'angolo opposto.

Esattamente il teorema suddetto recita così:

Dove R è il raggio del cerchio circoscritto al triangolo abc. 

Avendo detto ciò, vediamo di poter mettere a disposizione uno strumento di calcolo di tale teorema, dove è sufficiente inserire 3 elementi particolari noti. In generale esistono 4 casi per poter risolvere il teorema, se si hanno noti:

• un lato e due angoli
• due lati e l'angolo compreso
• due lati e l'angolo opposto a uno di essi
• tre lati

Ricordando che la somma degli angoli di un triangolo qualsiasi è 180° (in radianti &#982/2), di seguito le formule e l'autocompilazione per risolvere i problemi sopra.
Nota bene che tutti gli angoli devono essere inseriti in radianti, pertanto se hai la misura dell'angolo in radianti, prima convertila con questo veloce kit:

Gradi
Radianti

Viceversa, se vuoi convertire i tuoi dati al contrario:

Radianti
Gradi

Alcuni degli angoli notevoli:

gradi	radianti
0	0
15	π /12
30	π /6
45	π /4
60	π /3
90	π /2
120	2/3 π
135	3/4 π
150	5/6 π
180	π
210	7/6 π
225	5/4 π
240	4/3 π
270	3/2 π
300	5/3 π
315	7/4 π
330	11/6 π
360	2π

Un lato e due angoli

Lato
Primo angolo [Alfa] (rad)
Secondo angolo [β] (rad)
Terzo Angolo [Gamma] (rad)
Secondo lato
Terso lato

Due lati e l'angolo compreso

Primo lato [b]
Secondo lato [c]
Angolo [Alfa] (rad)
Terzo lato
Secondo angolo [β] (rad)
Terzo angolo [Gamma] (rad)

Due lati e l'angolo opposto a uno di essi

La prima cosa che dobbiamo calcolare per capire se il problema è risolvibile o meno è il sin β quanto vale.

Primo lato [b]
Secondo lato [a]
Angolo [Alfa] (rad)
Sin β
Angolo β [rad]
Angolo β [°]

Abbiamo diverse opzioni:

sin β > 1	Problema impossibile per definizione
sin β = 1 => β= π/2  Se α>π/2	Problema impossibile
sin β = 1 => β= π/2 Se α<π/2	Esiste una soluzione
0 < sin β <1>	Si hanno due soluzioni

sin β = 1 => β= π/2 - Se α<π/2 

Il problema si rifà a un triangolo rettangolo, di cui quindi conosciamo già l'angolo α e ora sappiamo che β è uguale a 90°.

Il terzo angolo  γ 

sarà= 180-α-β.
Per il terzo lato possiamo usare il teorema di Pitagora, oppure procedere con il teorema dei seni:

Angolo beta [β]
Angolo α [a]
Lato a
Lato b
Angolo γ [rad]
Lato C

Tre lati