Teorema dei Seni

Il teorema dei seni è uno dei fondamentali per la trigonometria, poiché mette in relazione i lati di un triangolo con l'angolo opposto.

Esattamente il teorema suddetto recita così:


Dove R è il raggio del cerchio circoscritto al triangolo abc. 

Avendo detto ciò, vediamo di poter mettere a disposizione uno strumento di calcolo di tale teorema, dove è sufficiente inserire 3 elementi particolari noti. In generale esistono 4 casi per poter risolvere il teorema, se si hanno noti:

  • un lato e due angoli
  • due lati e l'angolo compreso
  • due lati e l'angolo opposto a uno di essi
  • tre lati
Ricordando che la somma degli angoli di un triangolo qualsiasi è 180° (in radianti &#982/2), di seguito le formule e l'autocompilazione per risolvere i problemi sopra.
Nota bene che tutti gli angoli devono essere inseriti in radianti, pertanto se hai la misura dell'angolo in radianti, prima convertila con questo veloce kit:

Gradi
Radianti

Viceversa, se vuoi convertire i tuoi dati al contrario:
Radianti
Gradi

Alcuni degli angoli notevoli:

gradi radianti
0 0
15 π /12
30 π /6
45 π /4
60 π /3
90 π /2
120 2/3 π
135 3/4 π
150 5/6 π
180 π
210 7/6 π
225 5/4 π
240 4/3 π
270 3/2 π
300 5/3 π
315 7/4 π
330 11/6 π
360

Un lato e due angoli


Lato
Primo angolo [Alfa] (rad)
Secondo angolo [β] (rad)
Terzo Angolo [Gamma] (rad)
Secondo lato
Terso lato

Due lati e l'angolo compreso


Primo lato [b]
Secondo lato [c]
Angolo [Alfa] (rad)
Terzo lato
Secondo angolo [β] (rad)
Terzo angolo [Gamma] (rad)

Due lati e l'angolo opposto a uno di essi


La prima cosa che dobbiamo calcolare per capire se il problema è risolvibile o meno è il sin β quanto vale.
Primo lato [b]
Secondo lato [a]
Angolo [Alfa] (rad)
Sin β
Angolo β [rad]
Angolo β [°]

Abbiamo diverse opzioni:

sin β > 1 Problema impossibile per definizione
sin β = 1 => β= π/2  Se α>π/2 Problema impossibile
sin β = 1 => β= π/2 Se α<π/2 Esiste una soluzione
0 < sin β <1> Si hanno due soluzioni

sin β = 1 => β= π/2 - Se α<π/2 


Il problema si rifà a un triangolo rettangolo, di cui quindi conosciamo già l'angolo α e ora sappiamo che β è uguale a 90°.

Il terzo angolo  γ 
sarà= 180-α-β.
Per il terzo lato possiamo usare il teorema di Pitagora, oppure procedere con il teorema dei seni:






Angolo beta [β]
Angolo α [a]
Lato a
Lato b
Angolo γ [rad]
Lato C

Tre lati



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