Il teorema dei seni è uno dei fondamentali per la trigonometria, poiché mette in relazione i lati di un triangolo con l'angolo opposto.
Esattamente il teorema suddetto recita così:
Avendo detto ciò, vediamo di poter mettere a disposizione uno strumento di calcolo di tale teorema, dove è sufficiente inserire 3 elementi particolari noti. In generale esistono 4 casi per poter risolvere il teorema, se si hanno noti:
Nota bene che tutti gli angoli devono essere inseriti in radianti, pertanto se hai la misura dell'angolo in radianti, prima convertila con questo veloce kit:
Esattamente il teorema suddetto recita così:
Dove R è il raggio del cerchio circoscritto al triangolo abc.
- un lato e due angoli
- due lati e l'angolo compreso
- due lati e l'angolo opposto a uno di essi
- tre lati
Nota bene che tutti gli angoli devono essere inseriti in radianti, pertanto se hai la misura dell'angolo in radianti, prima convertila con questo veloce kit:
Viceversa, se vuoi convertire i tuoi dati al contrario:
Alcuni degli angoli notevoli:
| gradi | radianti |
|---|---|
| 0 | 0 |
| 15 | π /12 |
| 30 | π /6 |
| 45 | π /4 |
| 60 | π /3 |
| 90 | π /2 |
| 120 | 2/3 π |
| 135 | 3/4 π |
| 150 | 5/6 π |
| 180 | π |
| 210 | 7/6 π |
| 225 | 5/4 π |
| 240 | 4/3 π |
| 270 | 3/2 π |
| 300 | 5/3 π |
| 315 | 7/4 π |
| 330 | 11/6 π |
| 360 | 2π |
Un lato e due angoli
Due lati e l'angolo compreso
Due lati e l'angolo opposto a uno di essi
La prima cosa che dobbiamo calcolare per capire se il problema è risolvibile o meno è il sin β quanto vale.
Abbiamo diverse opzioni:
| sin β > 1 | Problema impossibile per definizione |
| sin β = 1 => β= π/2 Se α>π/2 | Problema impossibile |
| sin β = 1 => β= π/2 Se α<π/2 | Esiste una soluzione |
| 0 < sin β <1> | Si hanno due soluzioni |
sin β = 1 => β= π/2 - Se α<π/2
Il problema si rifà a un triangolo rettangolo, di cui quindi conosciamo già l'angolo α e ora sappiamo che β è uguale a 90°.
Il terzo angolo γ
Per il terzo lato possiamo usare il teorema di Pitagora, oppure procedere con il teorema dei seni:
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